Theorie des Messens für Anfänger: Eindeutigkeitsproblem und Bedeutsamkeit

Warum es “Psychometrie für Anfänger” gibt, das können Sie hier mal nachlesen und was sie zum Repräsentationsproblem wissen müssen, steht da auch.

Aber jetzt zum Thema Eindeutigkeit. Verstanden haben wir, dass eine stukturerhaltende Abbildung von einem empirischen Relativ in ein numerisches Relativ durch Axiome (hinreichende Bedingungen) als solche bestimmt wird. Aber was ist, wenn mehrere solcher Abbildungen existieren, wenn also eine Nummer auch mit einer anderen Funktion auf das empirische Relativ abzubilden wäre. Ein einfaches Beispiel ist die Tatsache, dass sich die Längenmessung unterschiedliche Skalen verwenden kann. (z.B. cm oder Fuß). Wie müssen nun die beiden Homomorphismen zusammenhängen, damit die Messung eindeutig ist. Dazu werden zulässige Transformationen, also Umwandlungen der einen Skala in die andere Skala angeben, die die Eindeutigkeit der Messung nicht beeinflussen.

Durch die Art der zulässigen Transformationen, wird das sogenannte Skalenniveau festgelegt. Um beim Beispiel mit den Körpergröße zu bleiben: Wir haben es hier mit einer Verhältnisskala zu tun. Erlaubte Transformationen sind hier Ähnlichkeitsabbildungen. Gibt die nummerische Abbildung 175, die Körpergröße von Gotthilf in cm an, und die Abbildung 5.74147, die Körpergröße in von Adalbert in Fuß so bleibt die Eindeutigkeit auch erhalten, wenn die beiden gemessenen Jungs in der wirklichen Welt doppelt so groß wären.
Anders bei der Temperaturmessung, die nur auf Intervallskalenniveau möglich ist, zulässig sind hier affine Abbildungen. Ist es in Neckartailfingen 35°C warm, und im Nachbarort 95°F dann ist es in beiden Orten gleich warm. Wird es in beiden Orten doppelt so warm, dann ist es in Neckartailfingen 70°C warm, im Nachbarort aber keine 190°F, sondern lediglich 158° obwohl es in beiden Orten wieder gleich warm ist.
So lange nur die bezogen auf das Skalenniveau zulässigen Transformationen durchgeführt werden, bleibt die Messung also eindeutig. Alles klar?

Dann haben wir das Bedeutsamkeitsproblem schon fast verstanden.

Hier stellen wir uns die Frage: Welche Aussage ist den überhaupt empirisch bedeutsam, macht also irgendeine sinnvolle Aussage über dir wirkliche Welt. Welche mathematischen Operationen sind mit den gemessenen Daten (numerisches Relativ) zulässig, ohne dass es zu Fehlern kommt. Nehmen wir also wieder die Frage nach der doppelten Temperatur. Die Aussage: 70° C ist doppelt so heiß wie 35° C ist also empirische unbedeutsam. Ein weitere möglicher Homomorphismus wäre hier nämlich die Fahrenheitskala. Transformieren wir also die Nummern 35 und 70 wieder wie oben in die Fahrenheitskala, ist die Aussage 158 ist doppelt so groß wie 95 nicht mehr wahr, die Aussage “größer als” ist also bei Skalen auf Intervallskalenniveau nicht bedeutsam.

Anders sieht es bei Verhältnisskalen aus, wie wir bei unsere Messung der Körpergröße schon gesehen haben. Der eine ist doppelt so groß wie der andere, egal welche Skala ich verwende, also unabhängig von der Wahl des Homomorphismus.

Damit: Viel Spaß beim Messen.